BLOGas.lt
Sukurk savo BLOGą Kitas atsitiktinis BLOGas

Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau

Kai Hilbertas paliko Sorbonos tribūną antrajame tarptautiniame matematikų kongrese 1900 m. rugpjūčio 8 d., tik nedaugeliui kalba padarė įspūdį. Anot vieno to meto liudijimo, diskusijos ta tema buvo „visai padrikos”. Atrodo, kad daugiau dėmesio sukėlė klausimas, ar nereiktų esperanto kalbą paimti kaip darbinę matematikos kalbą.

Tuo tarpu Hilbertas pateikė dienotvarkę 20-m amžiui, kuri buvo iškristalizuota kaip 23 svarbiausias neišspręstų matematikos problemų sąrašas, įtraukiantis ir tai, kaip talpiausiai supakuoti objektus, o taip pat ar teisinga Rymano hipotezė apie pirminių skaičių pasiskirstymą.

Šiandien daugelis problemų jau išspręsta, tarp jų ir sferos pakavimo uždavinys. Kitų, kaip Rymano hipotezės, atveju progresas nedidelis arba jo visai nėra. Tuo tarpu pirmoji jo sąraše išsiskiria savo keistumu - matematika tiesiog negali į jį atsakyti.

Ji žinoma kaip kontinuumo hipotezė ir yra susijusi su paslaptingiausia esybe, t.y. begalybe. Ir tik praėjus 140 m. nuo jos suformulavimo, garbus JAV matematikas mano, kad ją įveikė. Ir netgi, kaip jis tvirtina, sprendimą rado ne naudodamas tokią matematiką, kokią mes žinome (na…. gal nedaugelis ir žino, kokia ta matematika yra), o sukurdamas naują, radikaliai griežtesnę loginę struktūrą, kurią jis pakrikštijo „ultimatyvia L”.
O kelionė prasidėjo 1870-o dešimtm. pradžioje, kai vokiečių matematikas G. Kantoras išvystė aibių teorijos pagrindus. Aibių teorija nagrinėja veiksmus su objektų rinkiniais ir tų rinkinių apimtis. Ji yra svarbus matematikos pagrindas, nes skaičius galime susieti su aibių dydžiais, aibių manipuliavimo taisyklės taip pat apibrėžia ir aritmetinę logiką ir viską, kas ja paremta.

Tos sausos, kiek nuobodokos loginės konstrukcijos įgavo naują bruožą, kai Kantoras netikėtai paklausė: kokį dydį gali pasiekti aibė? Akivaizdus atsakymas - „be galo didelį” - pasirodė esąs nepakankamas, mat begalybė yra ne viena esybė, o turi daug lygių.

Kaip čia dabar? Paskaičiuokime: 1, 2, 3, 4, … Kai ilgai galime tęsti? Aišku, „be galo”, nes neegzistuoja pats didžiausias skaičius. Tačiau tai tėra „mažiausia”, suskaičiuojama begalybė, kurioje gyvuoja aritmetika. O štai pažiūrėkime, kiek taškų yra tiesėje. Na taip, ir čia „be galo daug”. Tačiau tai nėra suskaičiuojama sveikų skaičių begalybė. Tai glotni tolydi begalybė, kurioje apibrėžiami geometriniai objektai. Ji sudaryta ne iš sveikų, o „realių” skaičių - ir tarp sveikų skaičių prikimšta daugybė kitų: trupmenos (racionalūs skaičiai), o taip pat ir iracionalūs (tokie, kaip pi ar kvadratinė šaknis iš 2). Kantoras parodė, kad „kontinuumo” begalybė yra „be galo” didesnė už suskaičiuojamą, sveikų skaičių begalybę. Ir kartu ji yra laiptelis į dar aukštesnius begalybės lygius, kurių yra… e-e-e… begalybė.

Ir kol tie aukštesni begalybės lygiai tebeskendėjo miglose, Kantoras vėl paklausė: ar tarp suskaičiuojamos begalybės ir kontinuumo begalybės egzistuoja koks tarpinis begalybės lygis? Jis įtarė, kad neegzistuoja, tačiau neįstengė tai įrodyti. Tai ir tapo vadinamąja kontinuumo hipoteze. Bandymai įrodyti ar paneigti kontinuumo hipotezę priklauso nuo visų įmanomų realių skaičių poaibių analizės. Jei bet kurios jų apimtis yra arba suskaičiuojama, arba sutampa su pačiu kontinuumu, tada hipotezė teisinga. Bet jei yra bent vienas kitoks poaibis - ji neteisinga. [ ... ]

Skaitykite daugiau: Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau

Patiko (1)

Rodyk draugams

Rašyk komentarą