Matematika visiems

Aukštosiose mokyklose ir stojamuosiuose egzaminuose į universitetus studentams dažnai duodami uždaviniai, kuriuose reikia sudaryti lygtis. Studentui pirmiausia reikia pervesti uždavinio sąlygas į matematikos kalbą ir tada išspręsti gautas lygtis bei nelygybes. Uždavinyje aprašytoje situacijoje studentui reikia iš vienų skaitinių reikšmių gauti kitas skaitines reikšmes. Kaip pavyzdį, pateikiame pirmą ir paskutinį tipinių uždavinių aukštosios mokyklos uždavinyne sakinius:
Dvi mašininkės turi atspausdinti rankraštį… Kiek valandų prireiks kiekvienai mašininkei spausdinti rankraštį?
Motorlaivis išplaukia pasroviui iš upės prieplaukos… Kiek laiko reiks dviratininkui nuvažiuoti iš miesto iki turizmo centro?
Vario-cinko lydinys, kuriame buvo 5 kg cinko, sulydytas su 15 kg cinko…. kokia buvo pradinė lydinio masė?

Svarbu mokėti spręsti tokius uždavinius, kurie dažnai kyla pramonėje ir ekonomikoje, kai reikia paskaičiuoti ir sulyginti įvairius rodiklius, analizuoti įmonės veiklą ir pan. Tokios analizės padeda geriau suprasti esamą padėtį. Kitas natūralus žingsnis yra planuoti būsimą veiklą. O čia, aišku, yra galimos kelios alternatyvos, ir reikia pasirinkti geriausią iš jų.

Realiose planavimo ir valdymo situacijose vienu metu operuojama su labai dideliu kintamųjų kiekiu. Tačiau šiame straipsnelyje apsiribosime tik paprastais pavyzdžiais su mažu kintamųjų skaičiumi; tuos uždavinius galima išspręsti metodais, kurie žinomi netgi pirmus metus studijuojantiems algebrą, tokaiis, akip proporcijos, vieno tintamojo tiesinės funkcijos, nedidelio galimybių kiekio pilnas perrinkimas, sveikas protas.

Daugiau apie tai: Geriausios alternatyvos parinkimas (kartu ten yra keli pavyzdžiai ir uždaviniai)

 Pristatomos harmoninės eilutės, pirminių skaičių harmoninės eilutės, Rymano dzeta funkcija… Paaiškinami Landau simboliai… 

Skaitykite daugiau: Harmoninės eilutės

Kai Hilbertas paliko Sorbonos tribūną antrajame tarptautiniame matematikų kongrese 1900 m. rugpjūčio 8 d., tik nedaugeliui kalba padarė įspūdį. Anot vieno to meto liudijimo, diskusijos ta tema buvo „visai padrikos”. Atrodo, kad daugiau dėmesio sukėlė klausimas, ar nereiktų esperanto kalbą paimti kaip darbinę matematikos kalbą.

Tuo tarpu Hilbertas pateikė dienotvarkę 20-m amžiui, kuri buvo iškristalizuota kaip 23 svarbiausias neišspręstų matematikos problemų sąrašas, įtraukiantis ir tai, kaip talpiausiai supakuoti objektus, o taip pat ar teisinga Rymano hipotezė apie pirminių skaičių pasiskirstymą.

Šiandien daugelis problemų jau išspręsta, tarp jų ir sferos pakavimo uždavinys. Kitų, kaip Rymano hipotezės, atveju progresas nedidelis arba jo visai nėra. Tuo tarpu pirmoji jo sąraše išsiskiria savo keistumu - matematika tiesiog negali į jį atsakyti.

Ji žinoma kaip kontinuumo hipotezė ir yra susijusi su paslaptingiausia esybe, t.y. begalybe. Ir tik praėjus 140 m. nuo jos suformulavimo, garbus JAV matematikas mano, kad ją įveikė. Ir netgi, kaip jis tvirtina, sprendimą rado ne naudodamas tokią matematiką, kokią mes žinome (na…. gal nedaugelis ir žino, kokia ta matematika yra), o sukurdamas naują, radikaliai griežtesnę loginę struktūrą, kurią jis pakrikštijo „ultimatyvia L”.
O kelionė prasidėjo 1870-o dešimtm. pradžioje, kai vokiečių matematikas G. Kantoras išvystė aibių teorijos pagrindus. Aibių teorija nagrinėja veiksmus su objektų rinkiniais ir tų rinkinių apimtis. Ji yra svarbus matematikos pagrindas, nes skaičius galime susieti su aibių dydžiais, aibių manipuliavimo taisyklės taip pat apibrėžia ir aritmetinę logiką ir viską, kas ja paremta.

Tos sausos, kiek nuobodokos loginės konstrukcijos įgavo naują bruožą, kai Kantoras netikėtai paklausė: kokį dydį gali pasiekti aibė? Akivaizdus atsakymas - „be galo didelį” - pasirodė esąs nepakankamas, mat begalybė yra ne viena esybė, o turi daug lygių.

Kaip čia dabar? Paskaičiuokime: 1, 2, 3, 4, … Kai ilgai galime tęsti? Aišku, „be galo”, nes neegzistuoja pats didžiausias skaičius. Tačiau tai tėra „mažiausia”, suskaičiuojama begalybė, kurioje gyvuoja aritmetika. O štai pažiūrėkime, kiek taškų yra tiesėje. Na taip, ir čia „be galo daug”. Tačiau tai nėra suskaičiuojama sveikų skaičių begalybė. Tai glotni tolydi begalybė, kurioje apibrėžiami geometriniai objektai. Ji sudaryta ne iš sveikų, o „realių” skaičių - ir tarp sveikų skaičių prikimšta daugybė kitų: trupmenos (racionalūs skaičiai), o taip pat ir iracionalūs (tokie, kaip pi ar kvadratinė šaknis iš 2). Kantoras parodė, kad „kontinuumo” begalybė yra „be galo” didesnė už suskaičiuojamą, sveikų skaičių begalybę. Ir kartu ji yra laiptelis į dar aukštesnius begalybės lygius, kurių yra… e-e-e… begalybė.

Ir kol tie aukštesni begalybės lygiai tebeskendėjo miglose, Kantoras vėl paklausė: ar tarp suskaičiuojamos begalybės ir kontinuumo begalybės egzistuoja koks tarpinis begalybės lygis? Jis įtarė, kad neegzistuoja, tačiau neįstengė tai įrodyti. Tai ir tapo vadinamąja kontinuumo hipoteze. Bandymai įrodyti ar paneigti kontinuumo hipotezę priklauso nuo visų įmanomų realių skaičių poaibių analizės. Jei bet kurios jų apimtis yra arba suskaičiuojama, arba sutampa su pačiu kontinuumu, tada hipotezė teisinga. Bet jei yra bent vienas kitoks poaibis - ji neteisinga. [ ... ]

Skaitykite daugiau: Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau

Paskutinio 19 a. ketvirčio logika yra T. Kuno „paradigmos krizės” pavyzdys: reikėjo arba atrestauruoti seną modelį, nukentėjusį nuo 18-19 a. intelektualiųjų kataklizmų, arba ryžtingai atlaisvinti kelią naujoms idėjoms.

Ir tikrai, Aristotelio logika tuo metu prarado pagrindą ir karštligiškos pagrindų paieškos vertė daugelį ieškoti lengviausius, kaip atrodė, kelius -loginių dėsnių ir sąvokų natūralistines ir empirines interpretacijas. Tačiau krizės simptomai tik stiprėjo: pasirodė įvairios reliatyvizmo, skepticizmo ir subjektyvizmo formos. Ir šioje terpėje kūrėsi visiškai nauja logika.1879 m. Frėgė paskelbė „Sąvokų paskaičiavimą” (Begriffsschrift), kur formuluojama kalba ir išdėstoma aksiomatinė predikatų logika, pagrįsta funkcijų, kintamųjų ir kvantorių naudojimu. Tuo metu į Vokietiją jau buvo pranikusi bulio algebra, o jos pagr. Populiarintoju buvo E. Šrioderis, kurio dėka 1880 m. buvo įtrauktos į Lotcė ir Vundto logikos vadovėlius. Tame fone Frėgė knyga atrodė svetimkūniu. Gana glaustas, formalus dėstymas trukdė suvokti revoliucinį veikalo sumanymą. Net matematikai laikė jį pernelyg painiu ir sudėtingu: dvimatės medžio pavidalo konstrukcijos atrodė ne tokios patrauklios kaip algebrinės formulės.

Šrioderis, atrodo, nesuprato Jėnos logiko sumanymo naujumo, tame tarpe ir kvantorių prasmės. 1879-82 m. Frėgė kelis kartus bandė išaiškinti ir apginti savo poziciją, parašydamas kelis straipsnius, tačiau stambiausio, kuriame aiškinamas skirtumas nuo algebristų metodo, nepanoro priimti nė vienas mokslo žurnalas. Anot Frėgė, jo tikslu buvo „tam tikra lingua characterica, visų pirma skirta matematikai, o ne grynos logikos apribotu skaičiavimu - calculus”. „Begriffsschrift” jis sumanė ne kaip formalią skaičiavimų techniką, o kaip tam tikro turinio (pirmiausia, matematinio) išraiškos priemonę, leidžiančia tai padaryti tiksliau ir aiškiau, nei gyva kalba.

Būtent lingua characterica ir calculus ratiocinator priešstata tapo tuo tašku, leidusio J. van Heijenoort įvesti minėtą dichotomiją ir būti naujos universalistinės logikos paradigma. Tai geriausiai matosi kvantorių teorijoje: jei bulio logika apsiriboja tik sudėtingų teiginių struktūros išsiaiškinimu ir paprastų teiginių pakeitimu kintamaisiais, tai Frėgės sistema suteikia išplėtotą kalbą atomarinių teiginių, sudarytų iš predikatų raidžių, kintamųjų ir kvantorių, formalizacijai. „Propozicijos tampa artikuliuotomis ir gali perteikti prasmę. Nauja notacija leidžia simboliškai perrašyti ištisus traktatus… Čia turime lingua, o ne paprasčiausią calculus” (J.H.).

Daugiau apie tai: Dviejų filosofinės logikos paradigmų kova

Hipatija (apie 355-370 - 415/416 m., Hypatia) - iškili matematikė, astronomė ir filosofė, neoplatonizmo atstovė, maždaug nuo 400 m. Aleksandrijos platonizmo mokyklos vadovė. Priklausė Atėnų Akademijos tradicijai, atstovaujamai Eudokso iš Knido, bei Plotino (3 a.) mokyklai, pabrėžusiai logikos ir matematikos studijas, empirizmą bei gamtos dėsningumus. Žinių apie ją išliko nedaug; o labiausiai išgarsėjo jos tragiška žūtis…

Ji buvo tokia žavi ir puikios figūros, kad vienas jos mokinių ją įsimylėjo ir negalėjo susivaldyti. Atseit, Hipatija jo aistrą išgydė muzika. Tačiau iš tikro ji surinko savo nešiotų drabužių skudurus ir, juos jam parodžiusi, tarė: „Štai ką tu pamilai, jaunuoli, ir tai nėra gražu”.

Pagal paplitusį pasakojimą, pavydus vyskupas, matydamas būrius, norinčius ją pamatyti, pasmerkė ją myriop. Kaip ten bebūtų, tačiau, atrodo, krikščionių vienuoliai yra atsakingi už jos užpuolimą. Keli jų, uoliu užsidegimu, ir kuriems vadovavo kažkoks Petras, patykojo ją grįžtančią į namus, išvertė iš vežimo ir nutempė į bažnyčią, vadinamą Caeserium, kur nuplėšė visus drabužius ir tada užmušė čerpėmis. Sudraskę kūną į dalis, jos sudarkytas galūnes nunešė į vietą, kuri vadinama Cinaron, kur jas sudegino.

Kaip bebūtų, Hipatija tapo feminisčių simboliu, kankine pagonims bei ateistams ir personaže literatūroje…

Daugiau apie tai: Hipatija - pirmoji matematikė

Pirminiai dvyniai - pirminiai skaičiai, kurių skirtumas yra 2. Tai poros (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), … Mažesnis iš dvynių vadinamas Čeno pirminiu skaičiumi.

Manoma, kad pirminių dvynių yra begalinis skaičius, tačiau tai nėra įrodyta. 1849 m. šį pirminių dvynių teiginį apibendrino A. de Polignac‘as - kad yra be galo daug pirminių skaičių besiskiriančių bet kokiu lyginiu skaičiumi. O griežtesne forma Hardy; John Littlewood teiginys teigia apie pirminių dvynių pasiskirstymą.

1915 m. Viggo Brun‘as įrodė, kad atvirkštinių pirminių dvynių eilutė konverguoja (Bruno teorema):

Daugiau apie tai: Pirminiai dvyniai
Pristatoma ir Polignac‘o teiginys,  Pirmasis Hardy-Littlewood teiginys, Čen pirminiai skaičiai

Visų mokslų esmė yra smalsumas. Žmogus neišvengiamai ima kelti klausimus apie pasaulį. Ir matematikos nemažas privalumas tas, kad tą akimirką, kai paklausiama, iš principo žinoma, kad bus surasta atsakymas vien loginio samprotavimo pagalba. Todėl užsiėmimai matematika yra labai patrauklus ir naudingas laiko praleidimas. Atsakymo suradimui nereikia nei atlikinėti ilgų ir nuobodžių eksperimentų, nei ilgų valandų bibliotekose. Tereikia pakankamai sveiko proto nuovokos, pakankamo žinių kiekio ir suprasti klausimą išreiškiančius žodžius. Ir dar, galbūt, pieštuko ir popieriaus lapo.

Viskas tai atrodo gražu, teoriškai! Praktikoje paprasčiausiai skambantys klausimai virsta tokiais, į kuriuos beveik neįmanoma atsakyti. Tai ne tik nusivylimo šaltinis, bet ir tam tikra romantikos dozė matematikoje. Joje yra nemažai Didžiųjų problemų, kurios neišsprendžiamos šimtus ir net tūkstančius metų, nepaisant didžiausių protų pastangų. Jas gaubia pasakojimai apie žmones, ilgus metus skyrusius uždavinio sprendimui, netvarkingai besimaitinusius ir mažai miegojusius ir neretai gyvenusius ir mirusius vienatvėje, skurde ir nusivylusius savo gyvenimu. Ir nors žinoma, kad tuos kietus riešutėlius bandė krimsti gerokai protingesni, vis naujos mėgėjų ir profesionalų bangos vėl ir vėl jų imasi.

Tiesa, nėra griežtų kriterijų pagal kuriuos būtų nustatoma klausimo priskyrimas Didžiosioms problemoms. Aišku, padeda, jei problema aiškiai suvokiama, kaip, pvz., Goldbacho teiginys. Ji teigia, kad bet kuris lyginis skaičius, didesnis nei 2, gali būti išreikštas dviejų pirminių skaičių suma (40=23+17; 42=37+5; 44=31+13 ir t.t.). Bet kuris gali lengvai patikrinti, kad tai teisinga bet kuriam lyginiam skaičiui, mažesniam už 100, o superkompiuteriai patikrino tai ir labai dideliems skaičiams. Tačiau dar nė vienam nepavyko įrodyti, kad tai galioja kiekvienam lyginiam skaičiui. Beje, ar hipotezė teisinga, ar klaidinga, jokios tiesioginės naudos iš to nebūtų niekam. Pats įdomumas yra problemos išsprendimas, o ne rezultatas.

Kita Didžioji problema yra Rymano hipotezė (tokia laikoma nuo tada, kai Andrew Wiles kambaryje užsidarė 7-iems metams, kad įrodytų Ferma teoremą [1992]), tokia tapusi dėl visiškai priešingų dalykų. Kad suprastum jos formuluotę, reikia gilių žinių kompleksinio kintamojo analizėje. Metams bėgant matematikai parodė, kad daug kitų, ne tokių garsių, problemų būtų išspręsta, jei ši hipotezė būtų įrodyta.

Trečias būdas - tai klausimą Didžiąja problema padaryti dirbtinai. Gerai žinomas Hilberto sudarytas 23 problemų sąrašas, o vėliau - Klėjaus matematikos instituto 7-ių Tūkstantmečio problemų sąrašas, kai už kiekvienos jų išsprendimą pažadėta 1 mln. dolerių premija.

Daugiau apie tai: Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Pastaba: Straipsnis Kaip išgyventi aukštesnius matavimus gali būti įvadu į Puankarė teiginio supratimą.

Algoritmų teorijoje svarbią vietą užima godūs algoritmai. Jie aiškūs ir lengvai realizuojami, veikia ganėtinai greitai ir žinoma daug įvairių uždavinių, kuriuos galima išspręsti jų pagalba. Tad pristatysime jų pagrindą - matroidų teoriją. Ji neretai leidžia nustatyti apie godaus algoritmo pritaikomumą. Tam pakanka, kad tiriame aibė būtų matroidas…

Apibrėžimai

Ciklu grafe vadinsime uždarą kelią grafe, kai bet kuri grafo briauna panaudojama tik vieną kartą.
Paprastu ciklu vadinsim tokį ciklą, kai pašalinus vieną ciklo briauną, jis nustoja būti ciklu.

Visi nagrinėjami grafai yra neorientuoti. Grafo G grafinį matroidą žymėsime M(G). Matricos A vektorinį matroidą žymėsime M[A].

Toliau aprašoma, aks yra matroidas ir taip pat pagrindinės matroidų savybės…

Skaityti daugiau: Matroidai

Pastaba: Straipsnis Kaip išgyventi aukštesnius matavimus gali būti įvadu į Puankarė teiginio supratimą.

Visų mokslų esmė yra smalsumas. Žmogus neišvengiamai ima kelti klausimus apie pasaulį. Ir matematikos nemažas privalumas tas, kad tą akimirką, kai paklausiama, iš principo žinoma, kad bus surasta atsakymas vien loginio samprotavimo pagalba. Todėl užsiėmimai matematika yra labai patrauklus ir naudingas laiko praleidimas. Atsakymo suradimui nereikia nei atlikinėti ilgų ir nuobodžių eksperimentų, nei ilgų valandų bibliotekose. Tereikia pakankamai sveiko proto nuovokos, pakankamo žinių kiekio ir suprasti klausimą išreiškiančius žodžius. Ir dar, galbūt, pieštuko ir popieriaus lapo.

Viskas tai atrodo gražu, teoriškai! Praktikoje paprasčiausiai skambantys klausimai virsta tokiais, į kuriuos beveik neįmanoma atsakyti. Tai ne tik nusivylimo šaltinis, bet ir tam tikra romantikos dozė matematikoje. Joje yra nemažai Didžiųjų problemų, kurios neišsprendžiamos šimtus ir net tūkstančius metų, nepaisant didžiausių protų pastangų. Jas gaubia pasakojimai apie žmones, ilgus metus skyrusius uždavinio sprendimui, netvarkingai besimaitinusius ir mažai miegojusius ir neretai gyvenusius ir mirusius vienatvėje, skurde ir nusivylusius savo gyvenimu. Ir nors žinoma, kad tuos kietus riešutėlius bandė krimsti gerokai protingesni, vis naujos mėgėjų ir profesionalų bangos vėl ir vėl jų imasi.

Tiesa, nėra griežtų kriterijų pagal kuriuos būtų nustatoma klausimo priskyrimas Didžiosioms problemoms. Aišku, padeda, jei problema aiškiai suvokiama, kaip, pvz., Goldbacho teiginys. Ji teigia, kad bet kuris lyginis skaičius, didesnis nei 2, gali būti išreikštas dviejų pirminių skaičių suma (40=23+17; 42=37+5; 44=31+13 ir t.t.). Bet kuris gali lengvai patikrinti, kad tai teisinga bet kuriam lyginiam skaičiui, mažesniam už 100, o superkompiuteriai patikrino tai ir labai dideliems skaičiams. Tačiau dar nė vienam nepavyko įrodyti, kad tai galioja kiekvienam lyginiam skaičiui. Beje, ar hipotezė teisinga, ar klaidinga, jokios tiesioginės naudos iš to nebūtų niekam. Pats įdomumas yra problemos išsprendimas, o ne rezultatas.

Kita Didžioji problema yra Rymano hipotezė (tokia laikoma nuo tada, kai Andrew Wiles kambaryje užsidarė 7-iems metams, kad įrodytų Ferma teoremą [1992]), tokia tapusi dėl visiškai priešingų dalykų. Kad suprastum jos formuluotę, reikia gilių žinių kompleksinio kintamojo analizėje. Metams bėgant matematikai parodė, kad daug kitų, ne tokių garsių, problemų būtų išspręsta, jei ši hipotezė būtų įrodyta.

Trečias būdas - tai klausimą Didžiąja problema padaryti dirbtinai. Gerai žinomas Hilberto sudarytas 23 problemų sąrašas, o vėliau - Klėjaus matematikos instituto 7-ių Tūkstantmečio problemų sąrašas, kai už kiekvienos jų išsprendimą pažadėta 1 mln. dolerių premija.

Iš jų kol kas įrodytas tik Puankarė teiginys. Puankarė teiginys toks:
Kiekviena paprastai sujungta kompaktiška uždara trimatė daugdara yra homeomorfinė trimatei sferai.

Daugiau apie šį teiginį ir jo įrodinėjimo istoriją skaitykite atskirame puslapyje Puankarė teiginys, o taip pat Erdvės formos, kuriame paaiškinama ir daugdarų klasifikavimo klausimai bei ryšis su mūsų Visata. Straipsnyje Visatos mechanika aptariami galima mūsų Visatos forma.

Skaityti daugiau: Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?

Furjė transformacijos yra viena svarbiausių koncepcijų informaciniuose moksluose. Tai nereguliarių signalų pateikimo būdas - tokių kaip įtampos svyravimų laide, jungiančiame MP3 grotuvą su garsiakalbiu - kaip grynų dažnių kombinaciją. Jos visuotinai naudojamos apdorojant signalus, tačiau taip pat gali būti panaudotos suspaudžiant vaizdus ir audio duomenis, sprendžiant diferencialines lygtis, tiriant akcijų rinką ir kt.

Dėl to, kad Furjė transformacijos taip paplitusios, kaltas algoritmas, kuris vadinamas greitosiomis Furjė transformacijomis (FFT), sukurtas 20 a. 7-ojo dešimtm., leidęs jas paskaičiuoti akimirksniu. Tačiau buvo žmonių, vis dar bandžiusių surasti dar greitesnius algoritmus.

SODA, grupė MIT tyrinėtojų, pasiūlė naują algoritmą, kuris daugeliu praktiškai svarbių atvejų aplenkia FFT. Kai kuriais atvejais tas pagerėjimas tiesiog dramatiškas - iki dešimties kartų. Jis gali būti ypač naudingas spaudžiant vaizdus.

FFT ima skaitmeninį signalą ir jį išreiškia kaip svertinę dažnių sumą. „Svertinė” reiškia, kad kai kurie dažniai (sumuojant) yra svarbesni nei kiti. Kai kurių jų svoriai tokie mažiai, kad juos galima paprasčiausiai atmesti. Štai kodėl Furjė transformacijos taip tinka duomenų kompresijai. 8×8 taškų bloką galime laikyti kaip 64 skaičių ilgio skaitmeninį signalą, taigi, kaip 64 skirtingų dažnių sumą. Tačiau tyrinėtojai nurodo, kad vidutiniškai 57-is iš šių dažnių galima atmesti tik minimaliai paveikiant vaizdo kokybę.

Signalai, kuriems Furjė transformacijos įtraukia santykinai mažą didelį svorį turinčių dažnių kiekį, vadinama „išsklaidytais” (sparse). Naujasis algoritmas paskaičiuoja signalo didžiausių svorių dažnius; kuo labiau išsklaidytas signalas, tuo greičiau veikia algoritmas. Ir jei signalas yra išsklaidytas pakankamai, algoritmas duomenis gali skaidyti atsitiktinėmis porcijomis, o ne visą signalą.

Skaitykite daugiau: Greitesnės nei greitos Furjė transformacijos